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标准差和方差

标准差

标准差是数值分散的测量。

标准差的符号是 σ (希腊语字母 西格马,英语 sigma)

公式很简单:方差平方根。那么…… “方差是什么?”

方差

方差的定义是:

离平均的平方距离的平均。

按照以下的步骤来计算方差:

例子

你和朋友们量度了狗狗的身高(毫米):
狗图肩高

身高(到肩膀)是:600mm、470mm、170mm、430mm 和 300mm。

求平均、方差和标准差。

第一步是求平均:

答案:

平均  =  600 + 470 + 170 + 430 + 3005  =  19705  =  394

平均身高是 394 mm。我们画在图上:

狗图:平均

接着求每条狗和平均的距离:

狗图:差

要计算方差,求每个距离的平方,然后求平均:

方差计算

方差是 21,704

标准差是方差的平方根:

标准差
σ = √21,704
= 147.32……
147 (到最近的毫米)

标准差很有用。 我们现在可以显示哪个高度是在离平均一个标准差(147mm)之内:
狗图:标准差

标准差是一个甄别数值是正常与否的”标准”。

罗德维拉犬高的狗,腊肠犬矮的狗……但不要告诉它们!

现在去试试 标准差计算器

可是……如果数据是样本数据

以上例子的数据是对象总体的数据(我们的对象就是那 5条狗)。

但如果数据是个样本(只是对象总体的一部分),计算便会有点改变!

如果你有 “N”个数值,而这些数值是:

  • 对象总体:在求方差时除以 N(如上)
  • 样本:在求方差时除以 N-1

其他的计算步骤不变,包括计算平均在内。

例子:如果我们的 5条狗只是更多狗里的的一个样本,我们便要除以 4,而不是除以 5:

样本方差 = 108,520 / 4 = 27,130
样本标准差 = √27,130 = 164 (到最近的毫米)

想象这是对样本数据的 “修补”。

公式

这是在 标准差公式 网页里的两个公式(你可以去看看来了解更多):

对象总体标准差”: [(1/N) 乘以 (xi - mu)^2 从 i=1 到 N 的总和] 的平方根
样本标准差“: [(1/(N-1)) 乘以 (xi - xbar)^2 从 i=1 to N 的总和] 的平方根

乍看很复杂,但其实只是在计算样本方差时,有个重要的改变:
以除以 N-1 来代替除以 N

*脚注:为什么要求差的平方

如果我们只把和平均的差加起来……负值和正值便会互相抵消:

标准差为何 a 4 + 4 − 4 − 44 = 0

这不行。我们可以用绝对值吗?

标准差为何 a |4| + |4| + |−4| + |−4|4 = 4 + 4 + 4 + 44 = 4

不错(这叫 平均差),但看看这个例子:

标准差为何 b |7| + |1| + |−6| + |−2|4 = 7 + 1 + 6 + 24 = 4

糟了!数据比较分散,但结果还是 4。

我们来试试求每个差的平方(最后才取平方根):

标准差为何 a √(42 + 42 + 42 + 424) = √(644) = 4
标准差为何 b √(72 + 12 + 62 + 224) = √(904) = 4.74…

好极了!当数据比较分散时,标准差也比较大……正是我们想要的。

其实这个方法和 两点之间的距离 都是基于同一个原理,不过应用不同而已。

同时,用代数来处理平方和平方根比处理绝对值要容易很多,标准差也比较容易被应用在其他数学领域。

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From:

https://www.shuxuele.com/data/standard-deviation.html#Top